Actividad de lectura evaluativa.

Clase miércoles 15 de julio de 2020.

(Sección 1 de 1).

Actividad de lectura Capítulo 9 y

actividad evaluativa de la semana.

Leer el texto y enviar un mensaje de voz al WhatsApp del grupo de la clase del día de hoy expresando verbalmente un resumen u opinión sobre el tema.

Capítulo 9

Un bosque de números.

Sentados sobre la alfombra con las piernas cruzadas, Alicia y Charlie se deslizaban por la suave pendiente. Era como ir en trineo, pero con trigo en vez de nieve.

— ¿Cómo sabemos adónde vamos? —preguntó la niña.

—No lo sabemos, pero da igual. Esto es, en realidad, un gran montón de trigo, y como siempre vamos cuesta abajo (ya que, como sabes, es imposible deslizarse cuesta arriba), acabaremos saliendo del montón.

Efectivamente, poco después llegaron a un extraño bosque cuyos árboles, sin hojas y con las ramas hacia arriba, más bien parecían caprichosos candelabros de distintas alturas y número de brazos. Algunos no medían más de dos metros, y otros eran altísimos, con varios niveles de brazos que se ramificaban de manera curiosamente homogénea. El extremo de cada rama de la copa estaba rematado por una bola tan negra como el resto del árbol.

—Tengo la sensación de que estos árboles significan algo —dijo Alicia, levantándose de la alfombra—, pero no caigo...

—Así es —dijo Charlie—. Estos árboles representan los números. La cantidad de bolas de cada árbol indica el número al que corresponde. Aquí está el 1, en el que la única rama se confunde con el tronco; por eso es un número tan singular. Y el 2, cuyo tronco, naturalmente, se bifurca en dos ramas. Y el 5, que parece una mano abierta...

— ¿Y por qué el 10 tiene primero dos ramas que salen del tronco y luego de cada una salen cinco más? —preguntó Alicia.

Escríbeme:

everjulian2@gmail.com

—Verás, cada árbol tiende a ser lo más alto posible, pero siguiendo siempre esta sencilla regla: todas las ramas de un nivel tienen que sub-dividirse en el mismo número de ramas en el nivel siguiente.

—Por eso, en el 10, las dos ramas del primer piso se dividen en cinco ramas cada una en el piso siguiente.

—Exacto. Y por eso los números primos, como el 2 y el 5, o el 17, que está al lado del 10, sólo tienen un «piso», como tú los llamas.

— ¿Y por qué están en desorden? En la primera fila, el 1, el 2, el 5, el 10, el 17... En la segunda, el 4, el 3, el 6, el 11...

—No está en desorden —replicó Charlie, sacando su lápiz y un cuaderno de bolsillo y escribiendo en él una serie de números—. Siguen esta disposición...

— ¡Pues que disposición tan rara! —comentó Alicia.

—Sólo en apariencia. Si te fijas, los números sucesivos van formando cuadrados cada vez más grandes —señaló Charlie, y enmarcó varios grupos de números.

—Ah, ya lo veo.

—Por eso la primera columna es la serie de los cuadrados perfectos: 1, 4, 9, 16, 25, 36...

A medida que se adentraban en el bosque, los árboles crecían en tamaño y altura.

— ¿Sabemos adónde vamos? —preguntó entonces Alicia.

—Alguien dijo que un matemático es un hombre perdido en un bosque de números —contestó Charlie soñador.

— ¿Y por qué no una mujer? —replicó Alicia, que de vez en cuando planteaba reivindicaciones feministas.

—Porque entonces no sería un matemático, sino una matemática. Pero sí, tienes razón, la frase también vale para ti en este momento.

— ¿Acabamos de entrar y ya estamos perdidos?

—Es sólo una forma de hablar. En realidad, entre los números es difícil perderse, porque suelen seguir algún tipo de pauta. Ahora, por ejemplo, nos interesa cruzar el bosque en diagonal, y para ello sólo tenemos que seguir la serie 1, 3, 7, 13, 21, 31... —dijo Charlie, señalando con su lápiz la diagonal del cuadrado de números que acababa de componer en su cuaderno.

— ¿Y tenemos que continuar haciendo cuadrados cada vez más grandes para averiguar los números siguientes?

—No hace falta. Si te fijas, la serie sigue una pauta sencilla: 3 es 1 + 2, 7 es 3 + 4, 13 es 7 + 6, 21 es 13 + 8...

— ¡Ya lo veo! Cada vez se suman dos más al número anterior: 31 es 21 + 10, luego el siguiente será 31 + 12, o sea, 43 —dedujo Alicia.

—Exacto. Así que para estar seguros de cruzar el bosque en diagonal, sólo tenemos que ir comprobando de vez en cuando que pasamos junto a los árboles de esa serie.

—Sí, pero los números se hacen cada vez mayores y es una lata tener que contar tantas bolas.

—El cómputo se puede simplificar mucho con un poco de método. Por ejemplo, acabo de darme cuenta de que nos hemos desviado un poco hacia la izquierda, porque para seguir la diagonal deberíamos haber pasado junto al 57, y éste es el 56.

— ¿Cómo has podido contar las bolas tan deprisa? —se sorprendió Alicia.

—El árbol tiene cuatro niveles de ramas: en los tres primeros niveles, de cada bifurcación salen dos ramas, y en el cuarto nivel de cada rama salen siete. Por lo tanto, no tienes más que multiplicar 2 x 2 x 2 x 7 para saber que hay 56 bolas. Al crecer lo más posible siguiendo la regla que te he dicho antes, los árboles descomponen cada número en sus factores primos.

—O sea, factores lo más pequeños posibles, para que haya más niveles de ramas.

—Exacto: cuantos más factores, más niveles, y los factores más pequeños son siempre primos, porque si no aún podrían descomponerse en otros factores —dijo Charlie.

— ¿Conoces otros trucos para contar deprisa y sin esfuerzo?

—Desde luego. Te voy a contar uno muy bueno que descubrió un niño de tu edad. Se llamaba Carl Friedrich Gauss, y llegó a ser uno de los matemáticos más grandes de todos los tiempos. Un día, en el colegio, un profesor mandó a toda la clase, como castigo, sumar los números del 1 al 100...

— ¿Ves cómo los profes de mates son unos cenutrios? —Alicia no sabía muy bien lo que significaba cenutrio, pero le parecía un insulto de lo más contundente.

—Algunos sí —admitió Charlie—. El caso es que con el pequeño Gauss esta cenutriez no dio resultado, pues efectuó la suma en apenas unos segundos.

— ¿Cómo pudo hacerlo?

—Pues muy sencillo. Se dio cuenta de que podía emparejar los cien primeros números de la siguiente forma:

1 + 100= 101

2 + 99= 101

3 + 98= 101

48 + 53= 101

49 + 52= 101

50+51=101

—De este modo, se obtiene cincuenta veces 101, por lo que la suma total es 50 x 101 = 5.050.

—Muy astuto, el pequeño Gauss.

—Sin proponérselo, había descubierto la fórmula que expresa la suma de los miembros de una progresión aritmética.

—Ya estás hablando otra vez como un profe —se quejó Alicia.

—Tranquila, que enseguida te lo explico. Una progresión aritmética es, sencillamente, una serie de números en la que cada uno es igual al anterior más una cantidad fija, que se llama «razón». La progresión aritmética más sencilla es, precisamente, la serie de los números naturales: 1, 2, 3, 4, 5..., porque cada número es igual al anterior más 1. La serie de los números impares: 1, 3, 5, 7, 9...

—Es una progresión aritmética de razón 2; y la de los pares también —concluyó Alicia.

—Exacto. ¿Ves cómo es muy sencillo?

—Sí, pero ¿qué necesidad hay de usar palabrejas como «progresión aritmética», «razón» y todo eso? Es más fácil decir que a los números se les va sumando 1 cada vez, o 2...

— ¿Tienes algún animal en tu casa? —preguntó entonces Charlie, cambiando aparentemente de tema.

—Sí, un gato siamés.

— ¿Y por qué utilizas palabrejas como «gato» y «siamés»? Es más fácil decir «un anima-lito peludo que caza ratones y hace miau».

— ¡No es lo mismo! —protestó Alicia.

—Sí que es lo mismo: poner nombres a las cosas y usar esos nombres es más cómodo y eficaz que describirlas cada vez que hablamos de ellas. Ahora que sabes lo que es una progresión, es mucho más práctico usar esa palabra que decir «una serie de números en la que cada uno es igual al anterior más una cantidad fija», del mismo modo que es más cómodo y más preciso decir «gato» que «animalito peludo que caza ratones y hace miau».

—Está bien, está bien. Pero reconocerás que hay personas que usan un montón de palabrejas para darse importancia y hacernos creer que saben mucho.

—Por desgracia, eso es muy cierto —admitió Charlie—. El mundo está lleno de charlatanes, embaucadores y pedantes. Pero eso no es culpa de las palabrejas, sino de quienes las usan mal. Volviendo a las progresiones...

El escritor se detuvo junto al frondoso 343 (de cuyo tronco salían siete ramas, de cada una de las cuales salían otras siete, que a su vez se subdividían en siete más), sacó el cuaderno y el lápiz, y empezó a escribir.

— ¿Qué haces? —preguntó Alicia.

—Como muy bien has dicho, la serie de los números pares (2, 4, 6, 8, 10...) también es una progresión aritmética. Vamos a calcular la suma de sus diez primeros términos.

— ¿Usando el truco del pequeño Gauss?

—Sí, pero vamos a hacerlo de una forma ligeramente distinta para verlo más claro. Primero escribo esos diez primeros términos en su orden normal y luego, debajo, en orden inverso...

— ¿Para qué los escribes dos veces?

—Ahora sumamos las dos series, y vemos que diez veces 22 (que es 20 + 2, o sea, el primer término más el último) es el doble de la suma de los diez términos, ya que los hemos contado todos dos veces. Por lo tanto, la suma que buscamos será 22 x 10/2=110.

—Y esto se puede hacer con todas las progresiones aritméticas —comentó Alicia. —Claro.

Si llamamos p al primer término de una progresión aritmética cualquiera, u al último, n al número de términos y S a su suma, tenemos que:

S= (p + u) n / 2

En el caso de los cien primeros números, p es 1, u es 100 y n también es 100; luego:

S = (1 + 100) x 100/2

= 101 x 100 /2

= 10 100 /2

= 5 050

como ya sabíamos.

Echaron a andar de nuevo y, tras una pausa, Alicia preguntó:

— ¿Los granos de trigo del tablero de ajedrez también forman una progresión?

—Sí, pero geométrica, porque cada número se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija, y no sumándosela como en la progresión aritmética. La serie 1, 2, 4, 8, 16, 32... Es una progresión geométrica de razón 2, porque cada número es igual al anterior multiplicado por 2.

Pero Alicia ya no le escuchaba: estaba husmeando el aire con delectación.

— ¡Huele a tarta de manzana! —exclamó.

Tomado de: www.librosmaravillosos.com

by Carlo Frabetti

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Leer el texto y enviar un mensaje de voz al WhatsApp del grupo de la clase del día de hoy expresando verbalmente un resumen u opinión sobre el tema.

Capítulo 9

Un bosque de números.

Sentados sobre la alfombra con las piernas cruzadas, Alicia y Charlie se deslizaban por la suave pendiente. Era como ir en trineo, pero con trigo en vez de nieve.

— ¿Cómo sabemos adónde vamos? —preguntó la niña.

—No lo sabemos, pero da igual. Esto es, en realidad, un gran montón de trigo, y como siempre vamos cuesta abajo (ya que, como sabes, es imposible deslizarse cuesta arriba), acabaremos saliendo del montón.

—Tengo la sensación de que estos árboles significan algo —dijo Alicia, levantándose de la alfombra—, pero no caigo...

— ¿Y por qué el 10 tiene primero dos ramas que salen del tronco y luego de cada una salen cinco más? —preguntó Alicia.

Escríbeme:

—Verás, cada árbol tiende a ser lo más alto posible, pero siguiendo siempre esta sencilla regla: todas las ramas de un nivel tienen que sub-dividirse en el mismo número de ramas en el nivel siguiente.

—Por eso, en el 10, las dos ramas del primer piso se dividen en cinco ramas cada una en el piso siguiente.

—Exacto. Y por eso los números primos, como el 2 y el 5, o el 17, que está al lado del 10, sólo tienen un «piso», como tú los llamas.

— ¿Y por qué están en desorden? En la primera fila, el 1, el 2, el 5, el 10, el 17... En la segunda, el 4, el 3, el 6, el 11...

—No está en desorden —replicó Charlie, sacando su lápiz y un cuaderno de bolsillo y escribiendo en él una serie de números—. Siguen esta disposición...

— ¡Pues que disposición tan rara! —comentó Alicia.

—Sólo en apariencia. Si te fijas, los números sucesivos van formando cuadrados cada vez más grandes —señaló Charlie, y enmarcó varios grupos de números.

—Ah, ya lo veo.

—Por eso la primera columna es la serie de los cuadrados perfectos: 1, 4, 9, 16, 25, 36...

A medida que se adentraban en el bosque, los árboles crecían en tamaño y altura.

— ¿Sabemos adónde vamos? —preguntó entonces Alicia.

—Alguien dijo que un matemático es un hombre perdido en un bosque de números —contestó Charlie soñador.

— ¿Y por qué no una mujer? —replicó Alicia, que de vez en cuando planteaba reivindicaciones feministas.

—Porque entonces no sería un matemático, sino una matemática. Pero sí, tienes razón, la frase también vale para ti en este momento.

— ¿Acabamos de entrar y ya estamos perdidos?

— ¿Y tenemos que continuar haciendo cuadrados cada vez más grandes para averiguar los números siguientes?

—No hace falta. Si te fijas, la serie sigue una pauta sencilla: 3 es 1 + 2, 7 es 3 + 4, 13 es 7 + 6, 21 es 13 + 8...

— ¡Ya lo veo! Cada vez se suman dos más al número anterior: 31 es 21 + 10, luego el siguiente será 31 + 12, o sea, 43 —dedujo Alicia.

—Exacto. Así que para estar seguros de cruzar el bosque en diagonal, sólo tenemos que ir comprobando de vez en cuando que pasamos junto a los árboles de esa serie.

—Sí, pero los números se hacen cada vez mayores y es una lata tener que contar tantas bolas.

—El cómputo se puede simplificar mucho con un poco de método. Por ejemplo, acabo de darme cuenta de que nos hemos desviado un poco hacia la izquierda, porque para seguir la diagonal deberíamos haber pasado junto al 57, y éste es el 56.

— ¿Cómo has podido contar las bolas tan deprisa? —se sorprendió Alicia.

—O sea, factores lo más pequeños posibles, para que haya más niveles de ramas.

—Exacto: cuantos más factores, más niveles, y los factores más pequeños son siempre primos, porque si no aún podrían descomponerse en otros factores —dijo Charlie.

— ¿Conoces otros trucos para contar deprisa y sin esfuerzo?

—Desde luego. Te voy a contar uno muy bueno que descubrió un niño de tu edad. Se llamaba Carl Friedrich Gauss, y llegó a ser uno de los matemáticos más grandes de todos los tiempos. Un día, en el colegio, un profesor mandó a toda la clase, como castigo, sumar los números del 1 al 100...

— ¿Ves cómo los profes de mates son unos cenutrios? —Alicia no sabía muy bien lo que significaba cenutrio, pero le parecía un insulto de lo más contundente.

—Algunos sí —admitió Charlie—. El caso es que con el pequeño Gauss esta cenutriez no dio resultado, pues efectuó la suma en apenas unos segundos.

— ¿Cómo pudo hacerlo?

—Pues muy sencillo. Se dio cuenta de que podía emparejar los cien primeros números de la siguiente forma:

1 + 100= 101

2 + 99= 101

3 + 98= 101

48 + 53= 101

49 + 52= 101

50+51=101

—De este modo, se obtiene cincuenta veces 101, por lo que la suma total es 50 x 101 = 5.050.

—Muy astuto, el pequeño Gauss.

—Sin proponérselo, había descubierto la fórmula que expresa la suma de los miembros de una progresión aritmética.

—Ya estás hablando otra vez como un profe —se quejó Alicia.

—Es una progresión aritmética de razón 2; y la de los pares también —concluyó Alicia.

—Exacto. ¿Ves cómo es muy sencillo?

—Sí, pero ¿qué necesidad hay de usar palabrejas como «progresión aritmética», «razón» y todo eso? Es más fácil decir que a los números se les va sumando 1 cada vez, o 2...

— ¿Tienes algún animal en tu casa? —preguntó entonces Charlie, cambiando aparentemente de tema.

—Sí, un gato siamés.

— ¿Y por qué utilizas palabrejas como «gato» y «siamés»? Es más fácil decir «un anima-lito peludo que caza ratones y hace miau».

— ¡No es lo mismo! —protestó Alicia.

—Está bien, está bien. Pero reconocerás que hay personas que usan un montón de palabrejas para darse importancia y hacernos creer que saben mucho.

—Por desgracia, eso es muy cierto —admitió Charlie—. El mundo está lleno de charlatanes, embaucadores y pedantes. Pero eso no es culpa de las palabrejas, sino de quienes las usan mal. Volviendo a las progresiones...

El escritor se detuvo junto al frondoso 343 (de cuyo tronco salían siete ramas, de cada una de las cuales salían otras siete, que a su vez se subdividían en siete más), sacó el cuaderno y el lápiz, y empezó a escribir.

— ¿Qué haces? —preguntó Alicia.

—Como muy bien has dicho, la serie de los números pares (2, 4, 6, 8, 10...) también es una progresión aritmética. Vamos a calcular la suma de sus diez primeros términos.

— ¿Usando el truco del pequeño Gauss?

—Sí, pero vamos a hacerlo de una forma ligeramente distinta para verlo más claro. Primero escribo esos diez primeros términos en su orden normal y luego, debajo, en orden inverso...

— ¿Para qué los escribes dos veces?

—Ahora sumamos las dos series, y vemos que diez veces 22 (que es 20 + 2, o sea, el primer término más el último) es el doble de la suma de los diez términos, ya que los hemos contado todos dos veces. Por lo tanto, la suma que buscamos será 22 x 10/2=110.

—Y esto se puede hacer con todas las progresiones aritméticas —comentó Alicia. —Claro.

Si llamamos p al primer término de una progresión aritmética cualquiera, u al último, n al número de términos y S a su suma, tenemos que:

S= (p + u) n / 2

En el caso de los cien primeros números, p es 1, u es 100 y n también es 100; luego:

S = (1 + 100) x 100/2

= 101 x 100 /2

= 10 100 /2

= 5 050

como ya sabíamos.

Echaron a andar de nuevo y, tras una pausa, Alicia preguntó:

— ¿Los granos de trigo del tablero de ajedrez también forman una progresión?

—Sí, pero geométrica, porque cada número se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija, y no sumándosela como en la progresión aritmética. La serie 1, 2, 4, 8, 16, 32... Es una progresión geométrica de razón 2, porque cada número es igual al anterior multiplicado por 2.

Pero Alicia ya no le escuchaba: estaba husmeando el aire con delectación.

— ¡Huele a tarta de manzana! —exclamó.