Indicaciones del mensaje de voz en matemáticas:

✏️ 1. Saludo.

✏️ 2. Nombre estudiante.

✏️ 3. Decir el número del capítulo leído.

✏️ 4. Reflexión personal sobre el capítulo leído.

 

Capítulo 14.

Los conejos de Fibonacci

 

— ¡Un conejito! —exclamó Alicia.

 

—Una conejita —precisó el matemago, mientras depositaba suavemente en el suelo al pequeño roedor blanco—. Dentro de un mes será adulta.

 

Dicho esto, el anciano dio una palmada y la conejita aumentó varias veces de tamaño.

 

— ¿Ha pasado un mes por arte de magia? —preguntó la niña, atónita.

 

—Para nosotros no, no te preocupes. He acelerado el tiempo vital de la coneja para no tener que esperar tanto. Para ella sí que ha pasado un mes: ahora es adulta y está preñada, y dentro de otro mes tendrá una cría.

 

— ¡Quiero verla! —pidió Alicia.

 

—De acuerdo.

 

El matemago dio otra palmada, y junto a la coneja apareció otra tan pequeña como la primera al salir del gorro.

 

— ¿Dentro de otro mes también será adulta y estará preñada?

 

—Sí, y además su madre tendrá otra cría, pues desde que se hacen adultas todas las conejas tienen una cría cada mes.

 

El matemago dio otra palmada. La cría creció y junto a su madre apareció otra conejita.

 

—No me lo digas: dentro de un mes la nueva conejita crecerá y las otras dos conejas tendrán una cría cada una —dijo Alicia.

 

—Exacto —confirmó el anciano. Dio otra palmada y sucedió lo que la niña había previsto: por el suelo correteaban tres conejas adultas y dos crías. Otra palmada más: cinco adultas y tres crías. Y otra: ocho adultas y cinco crías...

 

c

C

Cc

CCc

CCCcc

CCCCCccc

CCCCCCCCccccc

 

— ¡Bravo! —aplaudió la niña, pero se contuvo de pronto—. Menos mal que mis palmadas no hacen crecer y multiplicarse a las conejitas, porque si no se habría llenado la habitación.

 

—Pues sí, la serie crece bastante deprisa. Vamos a verla: al principio había un solo ejemplar; al cabo de un mes, seguía habiendo uno; al cabo de dos meses, ya eran dos; al cabo de tres meses, tres...

 

—Luego cinco —prosiguió Alicia—, luego ocho, y ahora ya son trece.

 

A medida que el matemago y la niña nombraban los números, emitían bocanadas de humo purpúreo que se convertían en cifras y se quedaban flotando en el aire ordenadamente.

 

1  1  2  3  5  8  13

 

—Como ves —señaló el matemago—, cada número es la suma de los dos anteriores: 2 = 1 + 1,  3 = 1 + 2,  5 = 2 + 3,  8 = 3 + 5,  13 = 5 + 8...

 

—Si das otra palmada, habrá 21 conejitas, y luego 34, y luego 55, 89...

 

—Exacto. Esta serie la descubrió Leonardo de Pisa, un gran matemático italiano del siglo XII, más conocido como Fibonacci. Entre otras cosas, fue él quien impuso en Europa el sistema de numeración árabe, que ya se conocía en España, y esta interesantísima serie se le ocurrió precisamente mientras pensaba en la reproducción de los conejos.

 

— ¿Y para qué sirve?

 

—Tiene importantes aplicaciones, y aparece a menudo en la naturaleza. Por ejemplo, el crecimiento y la ramificación de muchas plantas se produce de acuerdo con esta serie u otras similares, pues en realidad hay infinitas series de Fibonacci.

 

— ¿Cómo son las otras?

 

—Si te fijas bien, la serie viene determinada por los dos primeros números, puesto que el tercero es la suma de ellos dos, el cuarto es el tercero más el segundo, y así sucesivamente. Si en vez de empezar con dos unos, partimos de otra pareja de números, obtenemos una serie distinta.

 

Por ejemplo:

 

2, 2, 4, 6, 10, 16, 26, 42, 68, 110...

 

2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76...

 

3, 2, 5, 7, 12, 19, 31, 50, 81, 131...

 

— ¿Y el truco para sumar deprisa que me ibas a enseñar?

 

—Ahora mismo. Elige dos números de una cifra y escríbelos uno encima de otro.

 

—El 4 y el 2 —dijo Alicia, y las dos cifras quedaron flotando en el aire.

 

4

2

 

—Ahora escribe debajo la suma de ambos.

 

—El 6 —dijo la niña, y la cifra de humo ocupó dócilmente su lugar en la columna.

 

4

2

6

 

—Ahora, debajo, la suma de 2 y 6.

 

—Es una serie de Fibonacci —dijo Alicia.

 

—Efectivamente. Te estoy haciendo el truco como si no conocieras esas series, pero puesto que ya las dominas, te diré simplemente que escribas, en columna, los diez primeros términos de la serie de Fibonacci que empieza con los números 4 y 2.

 

—De acuerdo...

4

2

6

8

14

22

36

58

94

152

 

—Bien, pues la suma de esos diez números es 396 —dijo el matemago en cuanto Alicia hubo terminado la lista.

 

—Has tenido tiempo de ir sumándolos mientras yo los escribía en el aire.

 

—Es cierto, pero no lo he hecho. He hallado el resultado de forma instantánea, y tú también podrás hacerlo en cuanto te explique el truco.

 

— ¿Cuál es?

 

—Es muy sencillo: si llamamos a y b a los dos primeros números, la serie será ésta —dijo el matemago, pasando las páginas de su libro y mostrándole una columna de expresiones algebraicas.

a

b

a + b

a + 2b

2a + 3b

3a + 5b

5a + 8b

8a + 13b

13a + 21b

21a + 34b

 

—No me gusta nada eso de mezclar letras y números —comentó Alicia—, pero esa lista está bastante clara —admitió.

 

—Sumando todas las aes y las bes, verás que la suma de los diez términos es 55a + 88b. Pero fíjate en el séptimo término de la serie: es 5a + 8b, luego la suma total es igual al séptimo término multiplicado por 11, puesto que 11 (5a + 8b) = 55a + 88b. Y multiplicar un número de dos cifras por 11 es muy fácil: sumas esas dos cifras y el resultado lo pones en medio; en este caso, 36 x 11 = 396, ya que 3 + 6 = 9.

 

—Ya lo veo —dijo Alicia—. Para hallar la suma de cualquier lista de este tipo, no tengo más que fijarme en el séptimo número, que es el cuarto empezando por abajo, y lo multiplico por 11.

 

—Muy bien. Y ahora, un espectacular truco de adivinación matemágica. Piensa un número de tres cifras —dijo el anciano dándole la espalda.

 

—Ya está.

 

—Dilo en voz muy baja para que yo no pueda oírlo.

 

La niña susurró «236»; un hilillo de humo rojo salió de su boca y formó en el aire el número con un trazo muy fino.

 

— ¿Y ahora?

 

—Repite el mismo número.

 

Alicia volvió a susurrar «236», y las tres cifras se juntaron a las anteriores para formar el número 236.236.

 

—Ya está.

 

—Ahora divide por 7 ese número de seis cifras. Hazlo en voz muy baja, para que yo no te oiga.

 

La niña musitó para sí la división, que fue realizándose en el aire a medida que iba nombrando los números y las operaciones. Al final obtuvo 33.748 como cociente exacto.

 

—Ya he terminado. Menos mal que acabo de aprenderme la tabla del 7...

 

—Ahora divide el resultado por 11.

 

Alicia dividió 33.748 por 11 y obtuvo 3.068.

 

— ¡Vuelve a dar exacto! —exclamó sorprendida. —Y ahora divide el resultado por 13.

—Es asombroso —dijo la niña al terminar la división—, da...

 

—El número que habías pensado —concluyó el matemago volviéndose. Y, efectivamente, en el aire flotaba un fino y luminoso 236.

 

— ¿Cómo podías saberlo de antemano?

 

—Muy sencillo: escribir dos veces seguidas un número de tres cifras equivale a multiplicarlo por 1.001. Y 7 x 11 x 13= 1.001. Si primero multiplicas un número por 1.001 y luego lo divides por 1.001...

 

—Se queda igual —concluyó Alicia.

 

—Exacto. Un truco muy sencillo, pero de gran efecto. Te divertirás haciéndoselo a tus amigos.

 

—Ya lo creo. Y los otros también molan. Seguro que mi profe de mates no los conoce. Me vengaré de él haciéndoselos en clase.

 

—Ahora ya eres una pequeña matemaga —dijo el anciano, poniéndole su cucurucho en la cabeza—. Siéntate en el trono.

 

Alicia se sentó, y cuando el matemago le depositó el libro en el regazo reconoció su enigmática sonrisa.

 

— ¡Eres Charlie! —exclamó.

 

La túnica y la barba blanca se disolvieron en el aire y ante ella apareció Lewis Carroll con su melancólico y anticuado aspecto anterior.

 

—Sí. La matemagia es una de mis mayores aficiones, y a veces me disfrazo para crear un poco de ambiente. Pero eres muy observadora y me has descubierto. Ya puedes despertar.

 

— ¿Despertar?

 

—Sí —dijo Charlie, mirándola con ternura y apoyándole una mano en el hombro—. Despierta.

 

 

Tomado de: www.librosmaravillosos.com

by Carlo Frabetti